Question

16．從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升，然后加滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續下去，則至少應倒4次后才能使純酒精體積與總溶液的體積之比低于10%．

Answer 1

分析 設開始的濃度為1，操作1次后的濃度為a₁=1-$\frac{1}{a}$，操作n次后的濃度為a_n，則a_n+1=a_n（1-$\frac{1}{a}$），利用等比數列的通項公式即可得出．

解答 解：設開始的濃度為1，操作1次后的濃度為a₁=1-$\frac{1}{a}$，
操作n次后的濃度為a_n，則a_n+1=a_n（1-$\frac{1}{a}$），
∴數列{a_n}構成a₁=1-$\frac{1}{a}$為首項，q=1-$\frac{1}{a}$為公比的等比數列，
∴a_n=（1-$\frac{1}{a}$）ⁿ，即第n次操作后溶液的濃度為（1-$\frac{1}{a}$）ⁿ；
當a=2時，可得a_n=（1-$\frac{1}{a}$）ⁿ=$（\frac{1}{2}）^{n}$，由a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜$\frac{1}{10}$，解得n＞4．
∴至少應倒4次后才能使酒精的濃度低于10%．
故答案為：4．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．