Question

3．已知a＞0，函數$f（x）=asin2x-\sqrt{3}cos2x+1$的最大值為3．
（1）求f（x）的單調遞減區間；
（2）若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據函數f（x）的最大值求出a的值，化函數f（x）為正弦型函數，
由函數y=sinx的單調性求出f（x）的單調遞減區間；
（2）根據x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]求出2x-$\frac{π}{3}$的范圍，
由正弦函數的圖象與性質求出f（x）的值域．

解答 解：（1）函數$f（x）=asin2x-\sqrt{3}cos2x+1$的最大值為3，
∴a²+${（-\sqrt{3}）}^{2}$=（3-1）²=4；
又a＞0，∴a=1；
∴函數f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1；
∵函數y=sinx的單調遞減區間為[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z；
∴f（x）的單調遞減區間為[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z；
（2）x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時，2x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[2，3]；
∴f（x）的值域是[2，3]．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了三角恒等變換的應用問題，是中檔題．