Question

13．如圖，在四面體ABCD中，平面ADC⊥平面ABC，△ADC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，已知EB⊥平面ABC，AC=2EB．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）若AC⊥BC，AC=1，BC=2，求四面體DBCE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設F是AC中點，連結DF，BF．只需，$DF=\frac{1}{2}AC=EB$，即四邊形DEBF是平行四邊形，DE∥FB，可證得DE∥平面ABC．
（Ⅱ）證得DF∥平面CBE，可得D到平面CBE距離等于F到平面CBE距離，故V_D-BCE=V_F-BCE，四面體BCDE的體積是${V_{BCDE}}=\frac{1}{3}{S_{△BCF}}×FC=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．

解答 解：（Ⅰ）設F是AC中點，連結DF，BF．
因為△ADC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，所以DF⊥AC．
因為平面ADC⊥平面ABC，交線是AC，所以DF⊥平面ABC．…（2分）
因為EB⊥平面ABC，所以DF∥EB．…（4分）
因為，$DF=\frac{1}{2}AC=EB$，所以四邊形DEBF是平行四邊形，所以DE∥FB．
因為DE?平面ABC，FB?平面ABC，所以DE∥平面ABC．…（6分）

（Ⅱ）因為AC⊥BC，AC⊥EB，所以AC⊥平面CBE，
故F到平面CBE距離$FC=\frac{1}{2}$．…（8分）
因為DF∥EB，所以DF∥平面CBE，故D到平面CBE距離等于F到平面CBE距離，故V_D-BCE=V_F-BCE．…（10分）
因為$EB=\frac{1}{2}$，所以${S_{△BCF}}=\frac{1}{2}×EB×BC=\frac{1}{2}$，
因此四面體BCDE的體積是${V_{BCDE}}=\frac{1}{3}{S_{△BCF}}×FC=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．…（12分）

點評 本題考查了線面平行的判定，幾何體的體積計算，屬于中檔題．