Question

15．定義域為R的可導函數y=f（x）的導函數f'（x），滿足f（x）＜f'（x），且f（0）=2，則不等式f（x）＞2e^x的解集為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，2）
• C． （0，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 根據條件構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求函數的導數，利用函數的單調性即可得到結論．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則g'（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）＜f′（x），
∴g'（x）＞0，即函數g（x）單調遞增．
∵f（0）=2，
∴g（0）=f（0）=2，
則不等式等價于g（x）＞g（0），
∵函數g（x）單調遞增．
∴x＞0，
∴不等式的解集為（0，+∞），
故選：C．

點評 本題主要考查函數單調性的判斷和應用，根據條件構造函數是解決本題的關鍵．