Question

7．已知直線l過點P（1，1），傾斜角為α，曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=\sqrt{2}sinβ\end{array}\right.$（β為參數）．
（1）求直線l的參數方程和曲線C的普通方程；
（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點（從左往右），且AP=3PB，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）根據根據直線參數方程的幾何意義得出直線l的參數方程，消去參數得出曲線C的普通方程；
（2）聯立方程組，得出A，B對應的參數的關系，根據AP=3PB列方程求出tanα即可．

解答 解：（1）直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數）；
曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1得：（cos²α+2sin²α）t²+2（cosα+2sinα）t-1=0，
設A，B對于的參數分別為t₁，t₂，則t₁=-3t₂，
∴t₁+t₂=$\frac{-2（cosα+2sinα）}{1+si{n}^{2}α}$=-2t₂，t₁t₂=$\frac{-1}{1+si{n}^{2}α}$=-3t₂²，
∴3（$\frac{cosα+2sinα}{1+si{n}^{2}α}$）²=$\frac{1}{1+si{n}^{2}α}$，
化簡得：5sin²α+6sinαcosα+cos²α=0，解得tanα=-1或tanα=-$\frac{1}{5}$．
∴直線l的斜率為-$\frac{1}{5}$或-1．

點評 本題考查了參數方程的應用，屬于中檔題．