Question

18．設正項等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₃=3a₃+2a₂，a₄=8．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列b_n=log₂a_n，數列{bn}的前n項和為T_n，求使得T_n取最大值的正整數n的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件求出數列的公比，然后求解通項公式；
（2）求出數列的通項公式，利用$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}≥0}\\{{b}_{n+1}≤0}\end{array}\right.$，求解數列的最大項，即可得到結果．（法二利用二次函數的性質求解）．

解答 解：（1）設正項等比數列{a_n}的公比為q，則q＞0，
由已知的S₃=3a₃+2a₂有2a₃+a₂-a₁=0，即2a₁q²+a₁q-a₁=0，又a₁＞0，
∴2q²+q-1=0，故q=$\frac{1}{2}$或q=-1（舍），…（4分）
∴a_n=a₄q^n-4=（$\frac{1}{2}$）^n-7，…6  分
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=7-n，設T_n為其最大項，則有：
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}≥0}\\{{b}_{n+1}≤0}\end{array}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{7-n≥0}\\{6-n≤0}\end{array}}\right.$，得6≤n≤7，故當n=6或7時，T_n達到最大．…（10分）
（法2）${T_n}=\frac{n（13-n）}{2}=-\frac{1}{2}[{（n-\frac{13}{2}）^2}+\frac{169}{4}]$，亦可給分．

點評 本題考查數列的應用，等比數列以及數列的函數的特征，考查分析問題解決問題的能力．