Question

10．（ I）設復數z和它的共軛復數$\overline z$滿足$4z+2\overline z=3\sqrt{3}+i$，求復數z．
（Ⅱ）設復數z滿足|z+2|+|z-2|=8，求復數z對應的點的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設出復數z=x+yi，根據$4z+2\overline z=3\sqrt{3}+i$，求出x，y的值，求出z即可；（Ⅱ）設復數z=x+yi，得到關于x，y的方程，整理判斷即可．

解答 解：（ I）設$z=x+yi，則4z+2\overline z=6x+2yi$，
由$4Z+2\overline Z=3\sqrt{3}+i$可得$6x+2yi=3\sqrt{3}+i$，
所以$x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，y=\frac{1}{2}$，
∴$z=\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{1}{2}i$；
（ II）設復數z=x+yi，
由|Z+2|+|Z-2|=8，
得$\sqrt{{{（{x+2}）}^2}+{y^2}}+\sqrt{{{（{x-2}）}^2}+{y^2}}=8$，
其軌跡是橢圓，
方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．

點評 本題考查了復數的運算以及共軛復數問題，考查圓的方程，是一道中檔題．