Question

13．已知函數f（x）=-x+xlnx
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若y=f（x）-m-1在定義域內有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導函數，利用導函數的符號，求解函數的單調區間．
（2）y=f（x）-m-1在（0，+∞）內有兩個不同的零點，可轉化為f（x）=m+1在（0，+∞）內有兩個不同的根，可轉化為y=f（x）與y=m+1圖象上有兩個不同的交點，畫出函數的圖圖象，判斷求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=lnx，令f'（x）＞0，解得x＞1；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜1；
∴f（x）的增區間為（1，+∞），減區間為（0，1）
（2）y=f（x）-m-1在（0，+∞）內有兩個不同的零點，
可轉化為f（x）=m+1在（0，+∞）內有兩個不同的根，
也可轉化為y=f（x）與y=m+1圖象上有兩個不同的交點，
由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
f（x）_min=f（1）=-1，
由題意得，m+1＞-1即m＞-2①，
由圖象可知，m+1＜0，即m＜-1②，
由①②可得-2＜m＜-1．

點評 本題函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的圖象，考查數形結合以及轉化思想的應用．