Question

12．若不等式a²+10b²+c²≥tb（a+3c）對一切正實數a，b，c恒成立，則實數t的取值范圍是（-∞，2]．

Answer 1

分析 根據不等式對一切正實數恒成立，得出t≤$\frac{{a}^{2}+1{0b}^{2}{+c}^{2}}{b（a+3c）}$，求出h=$\frac{{a}^{2}+1{0b}^{2}{+c}^{2}}{b（a+3c）}$的最小值即可．

解答 解：不等式a²+10b²+c²≥tb（a+3c）對一切正實數a，b，c恒成立，
∴t≤$\frac{{a}^{2}+1{0b}^{2}{+c}^{2}}{b（a+3c）}$；
設h=$\frac{{a}^{2}+1{0b}^{2}{+c}^{2}}{b（a+3c）}$，a、b、c是正實數，
則h=$\frac{{（a}^{2}{+b}^{2}）+（{9b}^{2}{+c}^{2}）}{ab+3bc}$≥$\frac{2ab+2•3bc}{ab+3bc}$=2，
∴t≤2；
∴實數t的取值范圍是（-∞，2]．
故答案為：（-∞，2]．

點評 本題考查了不等式的解法與應用問題，也考查了基本不等式的應用問題，是基礎題．