Question

13．若函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+lnx-ax+1在區間（$\frac{1}{2}$，3）上單調遞減，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，2）
• C． [3，+∞）
• D． $（-∞，\frac{5}{2}）$

Answer 1

分析 求出函數的單調區間，由于函數區間$（\frac{1}{2}，3）$上單調遞減，故此區間是其定義上單調區間的子集，故比較區間的端點即可得到參數的取值范圍，選出正確答案．

解答 解：函數$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+lnx-ax+1$的導數為f'（x）=x+$\frac{1}{x}$-a=$\frac{{x}^{2}-ax}{x}$，令f′（x）＜0，可得x²-ax＜0，解得x∈（0，a），函數$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+lnx-ax+1$在區間$（\frac{1}{2}，3）$上單調遞減，
可得a≥3，實數a的取值范圍為[3，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，求解本題的關鍵是利用導數求出函數的單調遞減區間以及根據題設條件作出正確判斷得出參數所滿足的不等式，解出參數的取值范圍，根據題設轉化出不等式是本題的易錯點，要注意等價轉化．