Question

13．某校舉行校園達人秀初賽，共有3名評委老師參加評審，某一節目至少有2名評委老師同意通過，則該節目晉級．假如該校高二（1）班共有2名選手參加比賽，其中甲選手獲得每位評委老師同意通過的概率均為$\frac{1}{2}$，乙選手獲得每位評委老師同意通過的概率均為$\frac{1}{3}$，各評委老師評審的結果相互獨立．
（1）分別求甲、乙兩名選手晉級的概率；
（2）設高二（1）班甲、乙兩選手的晉級的人數為X，試求隨機變量X的概率分布列．

Answer 1

分析 （1）利用n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率計算公式能分別求出甲、乙兩名選手晉級的概率．
（2）由題意X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．

解答 解：（1）設甲、乙兩名選手晉級的概率分別為P₁，P₂，
則P₁=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（1-\frac{1}{2}）+{C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$，
P₂=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（1-\frac{1}{3}）+{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{6}{27}+\frac{1}{27}$=$\frac{7}{27}$．
（2）由題意X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$（1-\frac{1}{2}）（1-\frac{7}{27}）=\frac{10}{27}$，
P（X=1）=$\frac{1}{2}×（1-\frac{7}{27}）+（1-\frac{1}{2}）×\frac{7}{27}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}×\frac{7}{27}$=$\frac{7}{54}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{10}{27}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{7}{54}$

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．