Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，該橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，A是橢圓上一點，AF₂⊥F₁F₂，原點O到直線AF₁的距離為$\frac{1}{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在過F₂的直線l交橢圓于P、Q兩點，且滿足△POQ的面積為$\frac{2}{3}$，若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設F₂（c，0）（c＞0），由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，A是橢圓上一點，AF₂⊥F₁F₂，原點O到直線AF₁的距離為$\frac{1}{3}$．列出方程求出a，b，即可求解橢圓方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當直線l不垂直x軸時，設直線l的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，化簡利用韋達定理以及弦長公式，點到直線的距離公式，表示出三角形的面積，然后求解直線l的方程．當直線l垂直于x軸時，運算即可．

解答 解：（1）設F₂（c，0）（c＞0），由$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得，$a=\sqrt{2}c$，∴b=c，
∵$A{F_2}⊥{F_1}{F_2}，解得A（c，±\frac{{\sqrt{2}}}{2}c）$，直線$A{F_1}的方程為y=±\frac{{\sqrt{2}}}{4}（x+c）$
即$A{F_1}的方程為\sqrt{2}x±y+\sqrt{2}c=0$，
∵$O到A{F_1}的距離為\frac{1}{3}，即\frac{{\sqrt{2}c}}{{\sqrt{18}}}=\frac{1}{3}$，∴$a=\sqrt{2}，b=c=1$
即所求橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．            …（6分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當直線l不垂直x軸時，設直線l的方程為y=k（x-1），
代入橢圓方程得：（1+2k²）x-4k²x+2k²-2=0，
${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$k²…（8分）
$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{2\sqrt{2}•\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{{2\sqrt{2}•（1+{k^2}）}}{{1+2{k^2}}}$
點O到直線l的距離$d=\frac{|k|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$…（10分）
${S_{△AOB}}=\frac{{2\sqrt{2}•|k|\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+2{k^2}}}=\frac{2}{3}$，解得k²=1，∴k=±1…（12分）
所以，直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0
當直線l垂直于x軸時，${S_{△AOB}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}≠\frac{2}{3}$，不符合                …（14分）
所以，所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．…（15分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，橢圓方程的求法，考查設而不求思想方法的應用，考查計算能力．