Question

15．如圖為一簡單幾何體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=DA=2，EC=1，N為線段PB的中點．
（Ⅰ）證明：NE⊥PD；
（Ⅱ）求四棱錐B-CEPD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結AC與BD交于點F，則F為BD的中點，連結NF，推導出四邊形NFCE為平行四邊形，從而NE∥AC，推導出AC⊥PD，由此能證明NE⊥PD．
（Ⅱ）推導出平面PDCE⊥平面ABCD，從而BC是四棱錐B-PDCE的高，由此能法語出四棱錐B-CEPD的體積．

解答 證明：（Ⅰ）連結AC與BD交于點F，則F為BD的中點，連結NF，
∵N為線段PB的中點，∴NF∥PD，且NF=$\frac{1}{2}$PD，…（3分）
又EC∥PD，且EC=$\frac{1}{2}PD$，
∴NF∥EC，且NF=EC，∴四邊形NFCE為平行四邊形，（5分）
∴NE∥FC，即NE∥AC． （6分）
又∵PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD，
∵NE∥AC，∴NE⊥PD．（7分）
解：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD．（9分）
∵BC⊥CD，平面PDCCE∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE．（10分）
∴BC是四棱錐B-PDCE的高．（11分）
∵${S}_{梯形PDCE}=\frac{1}{2}（PD+EC）•DC$=$\frac{1}{2}×3×2=3$，（12分）
∴四棱錐B-CEPD的體積V_B-CEPD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形PDCE}•BC$=$\frac{1}{3}×3×2=2$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．