Question

13．設定義在R上的函數f（x）是最小正周期為$\frac{π}{2}$的偶函數，f′（x）是f（x）的導函數，當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，0＜f（x）＜1，當x∈（0，$\frac{π}{2}$）且x≠$\frac{π}{4}$時，（x-$\frac{π}{4}$）f'（x）＜0，則方程f（x）=cos2x在[-2π，2π]上的根的個數為8．

Answer 1

分析 以$\frac{π}{4}$分界點進行討論，確定函數的單調性，利用函數的圖形，畫出草圖進行求解，即可得到結果

解答 解：∵當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，0＜f（x）＜1，f（x）為偶函數，
當x∈（0，$\frac{π}{2}$）且x≠$\frac{π}{4}$時，（x-$\frac{π}{4}$）f'（x）＜0，
∴x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，f（x）為單調增函數；x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時，f（x）為單調減函數，
在同一坐標系中作出y=cos2x和y=f（x）草圖象如下，

由圖知f（x）=cos2x在[-2π，2π]上的零點個數為8個．
故答案為8．

點評 本題考查函數的單調性，考查函數的零點，考查函數的周期性與奇偶性，利用數形結合的思想來求解，會化難為易．