Question

5．在△ABC中，A，B，C所對的邊分別是a，b，c，A=$\frac{2π}{3}$，且bcosC=3ccosB，則$\frac{b}{c}$的值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{13}-1}{2}$
• B． $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{14}}{2}$

Answer 1

分析 利用余弦定理將角化邊整理得出a，b，c的關系，再使用余弦定理消去a，得到關于b，c的方程，即可解出$\frac{b}{c}$的值．

解答 解：△ABC中，A=$\frac{2π}{3}$，且bcosC=3ccosB，
∴b×$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=3c×$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$，
即a²=2b²-2c²；
又cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴b²+c²-a²+bc=0，
∴3c²-b²+bc=0，
即-（$\frac{b}{c}$）²+$\frac{b}{c}$+3=0，
解得$\frac{b}{c}$=$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$或$\frac{-\sqrt{13}+1}{2}$（不合題意，舍去），
即$\frac{b}{c}$的值為$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了三角函數的恒等變換以及余弦定理和一元二次方程的解法問題，屬于中檔題．