Question

7．已知函數f（x）=x-1-lnx，對定義域內任意x都有f（x）≥kx-2，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1-$\frac{1}{{e}^{2}}$]
• B． （-∞，-$\frac{1}{{e}^{2}}$]
• C． [-$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）
• D． [1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，+∞）

Answer 1

分析 問題轉化為k≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$對x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，根據函數的單調性求出g（x）的最小值，從而求出k的范圍即可．

解答 解：f（x）=x-1-lnx，若對定義域內任意x都有f（x）≥kx-2，
則k≤1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$對x∈（0，+∞）恒成立，
令g（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{lnx-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞e²，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e²，
故g（x）在（0，e²）遞減，在（e²，+∞）遞增，
故g（x）的最小值是g（e²）=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故k≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．