Question

12．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=2與y的軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|=2|PQ|．
（1）求C的方程；
（2）邊焦點F的直線l斜率為-1，判斷C上是否存在兩點M，N，使得M，N關于直線l對稱，若存在，求出|MN|，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設Q（x₀，2），代入拋物線方程，結合拋物線的定義，可得p=2，進而得到拋物線方程；
（2）設直線l的方程為x+y-1=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），假設不存在M，N，使得M，N關于直線l對稱，得出矛盾即可．

解答 解：（1）設Q（x₀，2），P（0，2）代入由y²=2px（p＞0）中得x₀=$\frac{2}{p}$，
所以|PQ|=$\frac{2}{p}$，|QF|=$\frac{p}{2}$+$\frac{2}{p}$，
由題設得$\frac{p}{2}$+$\frac{2}{p}$=2×$\frac{2}{p}$，解得p=-2（舍去）或p=2．
所以C的方程為y²=4x．
（2）設直線l的方程為x+y-1=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則k_MN=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
MN的中點T的坐標為（$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{8}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
∵M，N關于直線l對稱，∴MN⊥l，∴$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1①，
∵中點T在直線l上，∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{8}$+1②，
由①②可得y₁+y₂=4，y₁y₂=4，
∴y₁，y₂是方程y²-4y+4=0的兩個根，此方程有兩個相等的根，
∴C上不存在M，N，使得M，N關于直線l對稱．

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．