Question

1．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA=a，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．
（1）求證：PA∥平面BOD．
（2）求異面直線PA與BD所成角余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）由O、D分別為AC、PC中點，知OD∥PA，由此能證明PA∥平面BOD．
（2）以O為原點，射線OP為非負z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出異面直線PA與BD所成角余弦值的大小．

解答 證明：（1）∵O、D分別為AC、PC中點，
∴OD∥PA，
又PA?平面BOD，OD?平面BOD，
∴PA∥平面BOD．
解：（2）∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB⊥BC，AB=BC=PA=a，
∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．
以O為原點，射線OP為非負z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，
則P（0，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$），A（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0），C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，0，0），D（-$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，0，$\frac{\sqrt{2}}{4}a$），
$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a），$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{4}a$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，$\frac{\sqrt{2}}{4}a$），
設異面直線PA與BD所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}}{a•\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
異面直線PA與BD所成角余弦值的大小為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．