Question

設函數f（x）=|x-1|+|x-2|．
（Ⅰ）畫出函數y=f（x）的圖象；
（Ⅱ）若不等式|a+b|-|a-b|≤|a|•f（x）對任意a，b∈R且a≠0恒成立，求實數x的范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數的圖象

專題：選作題,不等式

分析：本題考查的是分段函數的解析式求法以及函數圖象的作法問題．在解答時對（1）要先將原函數根據自變量的取值范圍轉化為分段函數，然后逐段畫出圖象；對（2）先結和條件a≠0將問題轉化，見參數統統移到一邊，結合絕對值不等式的性質找出f（x）的范圍，通過圖形即可解得結果．

解答： 解：（1）f（x）=

2x-3(x≥2) 1(1＜x＜2) 3-2x(x≤1)

，圖象如圖所示；
（2）由|a+b|-|a-b|≤|a|•f（x）得

|a+b|-|a-b|

|a|

≤f（x）
又因為

|a+b|-|a-b|

|a|

≤

|a+b+a-b|

|a|

=2
則有f（x）≥2
解不等式|x-1|+|x-2|≥2
得x≥

5

2

或x≤

1

2

，
∴實數x的范圍是x≥

5

2

或x≤

1

2

．

點評：本題考查的是分段函數的解析式求法以及函數圖象的作法問題．在解答過程中充分體現了分類討論的思想、數形結合的思想、問題轉化的思想．值得同學體會和反思．