Question

設函數f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2011π），則函數f（x）的各極大值之和為（　　）

• A、

  en(1-e2012n)

  1-e2n

• B、

  en(1-e1006n)

  1-en

• C、

  en(1-e1006n)

  1-e2n

• D、

  en(1-e2010n)

  1-e2n

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：由題意求導f′（x）=e^x（sinx-cosx）+e^x（cosx+sinx）=2e^xsinx=0；從而確定極值點，再確定極大值點，從而求極大值，再由等比數列求和．

解答： 解：∵f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴令f′（x）=e^x（sinx-cosx）+e^x（cosx+sinx）
=2e^xsinx=0；
則x=kπ，
故函數f（x）的極大值點為π+2kπ，
故函數f（x）的各極大值為e^π（sinπ-cosπ），e^3π（sin3π-cos3π），e^5π（sin5π-cos5π），…，e^2009π（sin2009π-cos2009π）；
即e^π，e^3π，e^5π，…，e^2009π；
故其和為e^π+e^3π+e^5π+…+e^2009π
=

eπ(1-e2π•1005)

1-e2π

=

eπ(1-e2010π)

1-e2π

；
故選D．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了三角函數及等比數列，屬于中檔題．