Question

如圖展示了一個區間（0，k）（k是一個給定的正實數）到實數集R的對應過程：區間（0，k）中的實數m對應線段AB上的點M，如圖1；將線段AB彎成半圓弧，圓心為H，如圖2；再將這個半圓置于直角坐標系中，使得圓心H坐標為（0，1），直徑AB平行x軸，如圖3；在圖形變化過程中，圖1中線段AM的長度對應于圖3中的圓弧AM的長度，直線HM與直線y=-1相交與點N（n，-1），則與實數m對應的實數就是n，記作n=f（m）．給出下列命題：
（1）f（

k

4

）=6；
（2）函數n=f（m）是奇函數；
（3）n=f（m）是定義域上的單調遞增函數；
（4）n=f（m）的圖象關于點（

k

2

，0）對稱；
（5）方程f（m）=2的解是m=

3

4

k．
其中正確命題序號為

 

．

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由題意，首先明確對應關系，m變對應著MH的傾斜角的變，從而求出n；從而對命題依次判斷．

解答： 解：（1）當m=

k

4

時，弧AM=

1

4

弧AB；
故可知HM的傾斜角為45°；
故直線HM的方程為y=x+1，
令y=-1得，x=-2；
故f（

k

4

）=2；故不正確；
（2）函數n=f（m）的定義域為（0，k），故不可能是奇函數，故不正確；
（3）由題意知，當m變大時，直線HM與y=-1的交點向右移動，
即n也在變大，故n=f（m）是定義域上的單調遞增函數；故正確；
（4）當m=

k

2

時，易知n=0；
當m≠

k

2

時，直線HM的傾斜角θ=

m

k

π，
故直線HM的方程為y=xtan

m

k

π+1，
令y=-1得，x=-

2

tan m k π

；
故n=-

2

tan m k π

；即點（m，-

2

tan m k π

）在n=f（m）的圖象上，
m關于

k

2

對稱的數是k-m，此時直線HM的傾斜角為π-

m

k

π；
直線HM的方程為y=xtan（π-

m

k

π）+1=-xtan

m

k

π+1；
令y=-1得，x=

2

tan m k π

，
故n=

2

tan m k π

；
故點（k-m，

2

tan m k π

）在n=f（m）的圖象上；
故n=f（m）的圖象關于點（

k

2

，0）對稱；故正確；
（5）由f（m）=2得，直線HM過點（0，1），（2，-1）；
故直線HM的斜率為-1；
故直線HM的傾斜角為

3

4

π；
即

m

k

π=

3

4

π；故m=

3

4

k．
故正確；
故答案為：（3），（4），（5）．

點評：本題考查了學生對于新定義的接受能力，同時考查了映射的變形應用，屬于難題．