Question

已知橢圓E的中點在原點，焦點在坐標軸上，且經過（

2

，

2

2

）與（1，

3

2

）兩點
（1）求E的方程；
（2）設直線L：y=kx+m（k≠0，m＞0）與E交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求△OPQ面積的最大值及此時直線L的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓E的方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），把（

2

，

2

2

）與（1，

3

2

）兩點代入，能求出橢圓E的方程．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為（x₀，y₀）將直線y=kx+m與

x2

4

+y2=1聯立，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線距離公式，弦長公式，結合已知條件能求出△OPQ面積的最大值及此時直線L的方程．

解答： 解：（1）設橢圓E的方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n）
∵橢圓經過（

2

，

2

2

）與（1，

3

2

）兩點，
∴

2m+ 1 2 n=1 m+ 3 4 n=1

，
解得m=

1

4

，n=1，
∴橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為（x₀，y₀）
將直線y=kx+m與

x2

4

+y2=1聯立，
得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=16（4k²+1-m²）＞0，即4k²+1＞m²①
又x₀=

x1+x2

2

=

-4km

1+4k2

，y₀=

y1+y2

2

=

m

1+4k2

，
依題意有

y0-0

x0-(-1)

=-

1

k

，
整理得3km=4k²+1②
由①②可得k²＞

1

5

，∵m＞0，∴k＞0，∴k＞

5

5

，
設O到直線l的距離為d，
則S_△OPQ=

1

2

d•|PQ|=

1

2

•

m

1+k2

•

1+k2 16(4k2+1-m2)

1+4k2

=

2 (4k2+1)(5k2-1)

9k2

=

2

9

20+ 1 k2 - 1 k4

，
當

1

k2

=

1

2

時，△OPQ的面積取最大值1，
此時k=

2

，m=

3 2

2

，∴直線方程為y=

2

x+

3 2

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查△OPQ面積的最大值及此時直線L的方程的求法，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、點到直線距離公式，弦長公式的合理運用．