Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，D是AB中點，（直三棱柱，指側棱垂直于底面的棱柱）．
（1）求證：AC⊥BC₁；　
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁
（3）求點C到平面ABC₁的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用勾股定理的逆定理判斷出AC⊥BC，同時因為三棱柱為直三棱柱，從而證出．
（2）因為D為AB的中點，連接C₁B和CB₁交點為E，連接DE，∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，根據三角形中位線定理得DE∥AC₁，得到AC₁∥平面CDB₁；
（3）利用等體積，求點C到平面ABC₁的距離．

解答： （1）證明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC內的射影為BC，∴AC⊥BC₁；
（2）證明：設CB₁與C₁B的交點為E，連接DE，
∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁；
（3）解：△ABC₁中，AB=5，AC₁=5，BC₁=4

2

，
∴S△ABC1=

1

2

×4

2

×

25-8

=2

34

，
設點C到平面ABC₁的距離為h，則

1

3

×2

34

h=

1

3

×

1

2

×3×4×4=

6

17

34

，
∴點C到平面ABC₁的距離為

6

17

34

．

點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查等體積，求點C到平面ABC₁的距離，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．