Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線傾斜角為α，β，且sinα-cosβ=

2 10

5

，則雙曲線離心率

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：三角函數的求值,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線傾斜角為α，β，且sinα-cosβ=

2 10

5

，求出tanα=

b

a

=

1

3

，或tanα=

b

a

=3，進而結合雙曲線的性質，可得雙曲線離心率．

解答： 解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線的傾斜角為α，β，
若α＜β，則sinα＞0，cosβ=-cosα＜0，
此時sinα-cosβ=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）=

2 10

5

，
∴sin（α+

π

4

）=

2 5

5

，則cos（α+

π

4

）=±

5

5

，
∴tan（α+

π

4

）=

1+tanα

1-tanα

=±2，
∴tanα=

b

a

=

1

3

，或tanα=

b

a

=3，
∴a=3b，或a=

1

3

b，
∴c=

10

3

a，或c=

10

a，
∴e=

10

3

，或e=

10

，
若α＞β，則sinα＞0，cosβ=-cosα＞0，
此時sinα-cosβ=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）=

2 10

5

，
∴sin（α+

π

4

）=

2 5

5

，則cos（α+

π

4

）=-

5

5

，
∴tan（α+

π

4

）=

1+tanα

1-tanα

=-2，
∴tanα=

b

a

=3，
則e=

10

，
綜上雙曲線離心率為

10

3

，或

10

，
故答案為：

10

3

，或

10

點評：本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質，三角函數化簡求值，是三角函數與圓錐曲線的綜合應用，難度不大，屬于基礎題．