Question

證明：不等式x²+px+q≤0的解集中只有一個元素的充要條件是p²=4q．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：利用二次函數的圖象和性質，先證明充分性，再證明必要性，最后綜合證明過程，可得答案．

解答： 證明：充分性
若不等式x²+px+q≤0的解集中只有一個元素，
則函數y=x²+px+q的圖象開口朝上，且與x軸只有一個交點，
故△=p²-4q=0，
即p²=4q，
必要性
若p²=4q，
則數y=x²+px+q的△=p²-4q=0，
則函數y=x²+px+q的圖象開口朝上，且與x軸只有一個交點，
則不等式x²+px+q≤0的解集中只有一個元素，
綜上所述，不等式x²+px+q≤0的解集中只有一個元素的充要條件是p²=4q．

點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用以及充要條件的證明，本題解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質，屬于基礎題．