Question

已知x，y滿足方程x²+y²-4x+1=0，則y-x的最大值為

 

；x²+y²最小值為

 

．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：設y-x=b，僅當直線y=x+b與圓切于第四象限時，縱軸截距b取最小值．進而利用點到直線的距離求得y-x的最小值；x²+y²是圓上點與原點距離之平方，故連接OC，與圓交于B點，并延長交圓于C′，進而可知x²+y²的最大值和最小值分別為|OC′|和|OB|，答案可得．

解答： 解：方程x²+y²-4x+1=0表示以點（2，0）為圓心，以

3

為半徑的圓
設y-x=b，則y=x+b，僅當直線y=x+b與圓切于第四象限時，縱軸截距b取最小值．
由點到直線的距離公式，得

|2-0+b|

2

=

3

，即b=-2±

6

，
故（y-x）_min=-2-

6

．
（3）x²+y²是圓上點與原點距離之平方，故連接OC，與圓交于B點，并延長交圓于C′，可知B到原點的距離最近，點C′到原點的距離最大，此時有OB=2-

3

，
∴（x²+y²）_min=|OB|²=7-4

3

．
故答案為：-2-

6

；7-4

3

．

點評：本題主要考查了圓的方程的綜合運用．考查了學生轉化和化歸的思想和數形結合的思想．