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20.通過隨機詢問某校110名高中學生在購買食物時是否看營養說明,得到如下列聯表:
 總計
看營養說明503080
不看營養說明102030
總計6050110
(1)從這50名女生中按是否看營養說明分層抽樣,抽取一個容量為5的樣本,問樣本中看與不看營養說明的女生各有多少名?
(2)從(1)中的5名女生中隨機選取2名進行深度訪談,求選到看與不看營養說明的女生各1名的概率;
(3)根據以上列聯表,問能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為“性別與在購買食物時看營養說明有關系”?
參考公式:K2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d
參考數據:
P(K2≥k00.100.050.0250.0100.005
k02.7063.8415.0246.6357.879

分析 (1)先求出每個個體被抽到的概率,再用每層的個體數乘以每個個體被抽到的概率等于該層應抽取的個體數;
(2)從這5名女生中隨機選取兩名,共有10個等可能的基本事件,
事件A“選到看與不看營養說明的女生各一名”包含了6個的基本事件,由此求得所求的概率;
(3)根據性別與看營養說明列聯表,求出K2的觀測值k,對照臨界值得出結論.

解答 解:(1)根據分層抽樣原理得:樣本中看營養說明的女生有5×$\frac{30}{50}$=3名,
樣本中不看營養說明的女生有5×$\frac{20}{50}$=2 名;
(2)記樣本中看營養說明的3名女生為a1、a2、a3
不看營養說明的2名女生為b1、b2
從這5名女生中隨機選取兩名,共有10個等可能的基本事件為:
(a1、a2);( a1、a3); (a1、b1);
( a1、b2);(a2、a3);(a2、b1);(a2、b2);
(a3、b1);(a3、b2);(b1、b2);
其中,事件A“選到看與不看營養說明的女生各一名”包含了6個的基本事件:
(a1、b1);( a1、b2);(a2、b1);
(a2、b2);(a3、b1);(a3、b2);
所以所求的概率為P(A)=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$;
(3)根據題目中的列聯表,
假設H0:該校高中學生性別與在購買食物時看營養說明無關,則K2應該很小;
根據題中的列聯表得k2=$\frac{110{×(50×20-30×10)}^{2}}{80×30×60×50}$=$\frac{539}{72}$≈7.486>6.635,
由P(K2≥6.635)=0.01,
能在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為“性別與在購買食物時看營養說明有關系”.

點評 本題考查了讀圖表、抽樣方法、隨機事件的概率、獨立性檢驗的應用問題,是綜合題.

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