Question

7．已知函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2015x+sinx，x≥0}\\{-{x^2}+λx+cos（x+α），x＜0}\end{array}}$是奇函數，則sinλα=1．

Answer 1

分析 利用函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2015x+sinx，x≥0}\\{-{x^2}+λx+cos（x+α），x＜0}\end{array}}$是奇函數的性質可求得λ與α，再利用三角函數的誘導公式即可求得答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2015x+sinx，x≥0}\\{-{x^2}+λx+cos（x+α），x＜0}\end{array}}$是奇函數，
∴當x＜0時，-x＞0，
∴f（-x）=（-x）²+2015（-x）+sin（-x）=-f（x）=-[-x²+λx+cos（x+α）]，
∴λ=2015，且sinx=cos（α+x），
∴α=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z），
∴sinλα=sin2015（2kπ-$\frac{π}{2}$）=-sin（-$\frac{π}{2}$）=1．
故答案為：1．

點評 本題考查函數的奇偶性求得λ與α是關鍵，考查誘導公式的應用，屬于中檔題．