Question

18．數列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\frac{{n{a_n}}}{{（n+1）（n{a_n}+2）}}（n∈{N^*}）$，則數列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{1}{{n（3•{2^{n-1}}-1）}}$．

Answer 1

分析 由題意可知；（n+1）a_n+1=$\frac{n}{n{a}_{n}+2}$，設na_n=b_n，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n}+2}$，構造等比數列，$\frac{1}{{b}_{n+1}}$+1=$\frac{2}{{b}_{n}}$+2=2（$\frac{1}{{b}_{n}}$+1），$\frac{1}{{b}_{1}}$+1=$\frac{1}{1×{a}_{1}}$+1=3，數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$+1}是以3為首項，以2為公比的等比數列，由等比數列通項公式求得na_n=b_n=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$，即可求得數列{a_n}的通項公式a_n．

解答 解：由題意可知：（n+1）a_n+1=$\frac{na_n}{n{a}_{n}+2}$，
設na_n=b_n，
∴b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n}+2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{2}{{b}_{n}}$+1，
，∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$+1=$\frac{2}{{b}_{n}}$+2=2（$\frac{1}{{b}_{n}}$+1），
$\frac{1}{{b}_{1}}$+1=$\frac{1}{1×{a}_{1}}$+1=3
∴數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$+1}是以3為首項，以2為公比的等比數列，
$\frac{1}{{b}_{n}}$+1=3•2^n-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=3•2^n-1-1，
∴na_n=b_n=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$，
∴a_n=$\frac{1}{{n（3•{2^{n-1}}-1）}}$，
故答案為：$\frac{1}{{n（3•{2^{n-1}}-1）}}$．

點評 本題考查數列的遞推公式，考查構造等比數列的方法，等比數列通項公式，考查計算能力，屬于中檔題．