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18.數列{an}中,${a_1}=\frac{1}{2}$,${a_{n+1}}=\frac{{n{a_n}}}{{(n+1)(n{a_n}+2)}}(n∈{N^*})$,則數列{an}的通項公式an=$\frac{1}{{n(3•{2^{n-1}}-1)}}$.

分析 由題意可知;(n+1)an+1=$\frac{n}{n{a}_{n}+2}$,設nan=bn,bn+1=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n}+2}$,構造等比數列,$\frac{1}{{b}_{n+1}}$+1=$\frac{2}{{b}_{n}}$+2=2($\frac{1}{{b}_{n}}$+1),$\frac{1}{{b}_{1}}$+1=$\frac{1}{1×{a}_{1}}$+1=3,數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$+1}是以3為首項,以2為公比的等比數列,由等比數列通項公式求得nan=bn=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$,即可求得數列{an}的通項公式an

解答 解:由題意可知:(n+1)an+1=$\frac{na_n}{n{a}_{n}+2}$,
設nan=bn
∴bn+1=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n}+2}$,
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{2}{{b}_{n}}$+1,
,∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$+1=$\frac{2}{{b}_{n}}$+2=2($\frac{1}{{b}_{n}}$+1),
$\frac{1}{{b}_{1}}$+1=$\frac{1}{1×{a}_{1}}$+1=3
∴數列{$\frac{1}{{b}_{n}}$+1}是以3為首項,以2為公比的等比數列,
$\frac{1}{{b}_{n}}$+1=3•2n-1
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=3•2n-1-1,
∴nan=bn=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$,
∴an=$\frac{1}{{n(3•{2^{n-1}}-1)}}$,
故答案為:$\frac{1}{{n(3•{2^{n-1}}-1)}}$.

點評 本題考查數列的遞推公式,考查構造等比數列的方法,等比數列通項公式,考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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