Question

7．若f（x）是定義在R上的函數，且滿足：①f（x）是偶函數；②f（x+2）是偶函數；③當0＜x≤2時，f（x）=log₂₀₁₇x，當x=0時，f（0）=0，則方程f（x）=-2017在區間（1，10）內的多有實數根之和為（　　）

• A． 0
• B． 10
• C． 12
• D． 24

Answer 1

分析 利用對稱性和周期性作出f（x）的函數圖象，根據對稱性得出零點之和．

解答 解：∵f（x+2）是偶函數，
∴f（x+2）=f（-x+2），
∴f（x）的圖象關于直線x=2對稱，
又f（x）是偶函數，
∴f（x+2）=f（-x+2）=f（x-2），
∴f（x）的周期為4，
作出f（x）在（0，10）上的函數圖象如圖所示：

由圖象可知f（x）=-2017在（1，10）上有4個零點，
其中兩個關于零點關于直線x=4對稱，另兩個零點關于直線x=8對稱，
∴f（x）=-2017在（1，10）上的所有零點之和為4×2+8×2=24．
故選D．

點評 本題考查了函數零點與函數圖象的關系，函數周期性與對稱性的應用，屬于中檔題．