Question

19．已知函數$f（x）={e^x}-ax-1-\frac{x^2}{2}，x∈R$．
（1）若a=1，求函數f（x）的單調區間；
（2）若對任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）求出f（x）的導數，得到f′（x）遞增，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出a的具體范圍即可．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=e^x-x-1-$\frac{{x}^{2}}{2}$，
則f'（x）=e^x-1-x
令g（x）=e^x-1-x，
則g'（x）=e^x-1，
則當x∈（-∞，0）時，g'（x）＜0，則f'（x）單調遞減，
當x∈（0，+∞）時，g'（x）＞0，則f'（x）單調遞增，
所以有f′（x）≥f′（0）=0，
所以f（x）在（-∞，+∞）上遞增，沒有遞減區間，
（2）當x≥0時，f'（x）=e^x-x-a，令h（x）=f'（x），
則h'（x）=e^x-1≥0，則f'（x）單調遞增，
f'（x）≥f'（0）=1-a；
當a≤1即f'（x）≥f'（0）=1-a≥0時，
f（x）在（0，+∞）上遞增，f（x）≥f（0）=0成立；
當a＞1時，存在x₀∈（0，+∞），使f'（x₀）=0，
則f（x）在（0，x₀）上遞減，
則當x∈（0，a）時，f（x）＜f（0）=0，不合題意，
綜上：a≤1．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．