Question

12．已知函數f（x）=|x-2|+|x+4|，g（x）=x²+4x+3．
（1）求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若f（x）≥|1-5a|恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過x與-4以及2的大小比較，去掉絕對值符號，化簡不等式，然后求解即可．
（2）利用絕對值的幾何意義，求出函數的最小值，然后化簡不等式求解a的范圍即可．

解答 解：（1）函數f（x）=|x-2|+|x+4|，g（x）=x²+4x+3，
不等式f（x）≥g（x）即：|x-2|+|x+4|≥x²+4x+3，
①當x＜-4時，不等式化為：-（x-2）-（x+4）≥x²+4x+3，
解得：-5≤x≤-1，∴-5≤x＜-4；
②當-4≤x≤2時，不等式化為：-（x-2）+（x+4）≥x²+4x+3，
解得：-2-$\sqrt{7}$≤x≤-2+$\sqrt{7}$，
∴-4≤x$≤-2+\sqrt{7}$；
③當x＞2時，不等式化為：（x-2）+（x+4）≥x²+4x+3，
解得：x∈∅，
綜上：不等式的解集為：{x|-5≤x$≤-2+\sqrt{7}$}；
（2）因為|x-2|+|x+4|≥|x-2-x-4|=6，
f（x）≥|1-5a|恒成立，
所以6≥|1-5a|，即-6≤1-5a≤6，解得-1$≤a≤\frac{7}{5}$，
所以實數a的取值范圍[-1，$\frac{7}{5}$]．

點評 本題考查函數恒成立，不等式的解法，考查化簡以及計算能力．