Question

17．在方程|x|+|y|=1表示的曲線所圍成的區(qū)域內(nèi)（包含邊界）任取一點(diǎn)P（x，y），則z=xy的最大值為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 作出出三角形區(qū)域，分類討論，根據(jù)基本不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出約束條件|x|+|y|=1所對(duì)應(yīng)的可行域，
當(dāng)x，y異好時(shí)，xy＜0，
當(dāng)x，y其中一個(gè)為0時(shí)，xy=0，
當(dāng)x，y同號(hào)時(shí)，若x＞0，y＞0時(shí)，則x+y=1，
則xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
同理x＜0，y＜0時(shí)，則-x-y=1，
則xy=（-x）（-y）≤（-$\frac{x+y}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
則xy的最大值為$\frac{1}{4}$，
即z的最大值為$\frac{1}{4}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用條件作出對(duì)應(yīng)區(qū)域，結(jié)合基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．