Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|
（1）若函數(shù)f（x）的值域為[2，+∞），求實數(shù)a的值
（2）若f（2-a）≥f（2），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的最小值，列出方程求解a即可．
（2）利用不等式，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|≥|x-1-（x-a）|=|a-1|，
∴|a-1|=2，解得a=3或a=-1．
（2）由f（2-a）≥f（2），可得3|a-1|-|a-2|≥1，
則$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{3（1-a）-（2-a）≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤a≤2}\\{3（a-1）-（2-a）≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{3（a-1）-（a-2）≥1}\end{array}\right.$，
解得：a≤0或$\frac{3}{2}≤a≤2$或a≥2．
綜上a的范圍是：$（-∞，0]∪[\frac{3}{2}，+∞）$．

點評 本題考查函數(shù)的最值及函數(shù)恒成立，不等式的解法，考查分類討論思想的應(yīng)用．