Question

1．已知函數f（x）=|ln||x-1||，f（x）-m的四個零點x₁，x₂，x₃，x₄，且k=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$，則f（k）-e^k的值是-e²．

Answer 1

分析 利用對數的運算性質可得出$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$=1，從而k=2，代入計算即可．

解答 解：顯然f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
不妨設x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則x₁＜x₂＜1＜x₃＜x₄，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴ln（1-x₁）=-ln（1-x₂），
即1-x₁=$\frac{1}{1-{x}_{2}}$，整理得x₁x₂=x₁+x₂，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=1，
同理有：$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$=1，
∴k=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$=2，
∴f（k）-e^k=f（2）-e²=-e²．
故答案為：-e²．

點評 本題考查了對數的運算性質，屬于中檔題．