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13.中央政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題,擬定出臺“延遲退休年齡政策”,為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態度,責成人社部進行調研,人社部從網上年齡在15~65歲的人群中隨機調查100人,調查數據的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數與年齡的統計結果如下:
年齡[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65]
支持“延遲退休”的人數155152817
(1)由以上統計數據填2×2列聯表,并判斷是否95%的把握認為以45歲為界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持有差異;
45歲以下45歲以上總計
支持
不支持
總計
(2)若以45歲為分界點,從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動,現從這8人中隨機抽2人.
①抽到1人是45歲以下時,求抽到的另一人是45歲以上的概率;
②記抽到45歲以上的人數為X,求隨機變量X的分布列及數學期望.
P(K2≥k00.1000.0500.0100.001
k02.7063.8416.63510.828
${K^2}=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.

分析 (1)由統計數據填寫列聯表,計算觀測值,對照臨界值得出結論;
(2)①求抽到1人是45歲以下的概率,再求抽到1人是45歲以上的概率,②根據題意知X的可能取值,計算對應的概率值,寫出隨機變量X的分布列,計算數學期望值.

解答 解:(1)由統計數據填2×2列聯表如下,

45歲以下45歲以上總計
支持354580
不支持15520
總計5050100
計算觀測值${K^2}=\frac{{100×{{(35×5-45×15)}^2}}}{50×50×80×20}=\frac{25}{4}=6.25>3.841$,
所以有95%的把握認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休政策”的支持度有差異;
(2)①抽到1人是45歲以下的概率$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$,抽到1人是45歲以上的概率是$\frac{2}{7}$,
故所求的概率是P=$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{7}$=$\frac{3}{14}$;
②根據題意,X的可能取值是0,1,2;
計算P(X=0)=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{15}{28}$,
P(X=1)=$\frac{{C}_{6}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{7}$,
P(X=2)=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{28}$,
可得隨機變量X的分布列為
X012
P$\frac{15}{28}$$\frac{3}{7}$$\frac{1}{28}$
故數學期望為E(X)=0×$\frac{15}{28}$+1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題,也考查了古典概型的概率計算問題,是中檔題.

練習冊系列答案
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