Question

18．已知邊長為2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E為DC的中點，如圖1所示，將△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如圖2所示．
（Ⅰ）求證：△PAB為直角三角形；
（Ⅱ）求二面角A-PD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出BE⊥DC，AB∥CD，從而AB⊥BE，進而∠ABE=90°，將△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，在翻折過程中，∠ABE=90°不變，由此能證明△PAB為直角三角形．
（Ⅱ）以E為原點，ED為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-PD-E的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）∵邊長為2的菱形ABCD中，∠BCD=60°，E為DC的中點，如圖1所示，
∴BE⊥DC，AB∥CD，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，
∵將△BCE沿BE折起到△BPE的位置，且平面BPE⊥平面ABED，如圖2所示．
在翻折過程中，∠ABE=90°不變，
∴在△ABP中，∠ABP=90°，
∴△PAB為直角三角形．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠BED=∠ABE=90°，∴DE⊥BE，
以E為原點，ED為x軸，EB為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標系，
A（2，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），D（1，0，0），E（0，0，0），
$\overrightarrow{DP}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{DA}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{EP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{ED}$=（1，0，0），
設平面ADP的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DA}=x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，-1，\sqrt{3}$），
平面PDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設二面角A-PD-E的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴二面角A-PD-E的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查三角形為直角三角形的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．