Question

13．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），x＜0}\\{a-lo{g}_{2}（x+2），x≥0}\end{array}\right.$是奇函數，則f（x）＞-1的解集為（　　）

• A． （-2，0]∪（2，+∞）
• B． （-2，+∞）
• C． （-∞，-2）∪（0，2）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 根據f（0）=0計算a，判斷f（x）的（0，+∞）上的單調性和最值，根據奇函數的性質得出f（x）在（-∞，0）上的情況，綜合得出答案．

解答 解：∵f（x）是奇函數，∴f（0）=0，
即a-log₂2=0，∴a=1．
∴當x≥0時，f（x）=1-log₂（x+2），
∴f（x）在[0，+∞）上單調遞減，
令f（x）=-1得1-log₂（x+2）=-1，解得x=2．
∴當x≥0時，f（x）＞-1的解集為[0，2）．
∵當x≥0時，f（x）≤f（0）=0，f（x）是奇函數，
∴當x＜0時，f（x）＞0，
∴f（x）＞-1的解集為（-∞，0）∪[0，2）=（-∞，2）．
故選D．

點評 本題考查了奇函數的性質，函數單調性判斷與最值計算，屬于中檔題．