Question

6．定義在區間[a，b]上的連續函數y=f（x），如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），則稱ξ為區間[a，b]上的“中值點”．下列函數：①f（x）=3x+2；②f（x）=x²；③f（x）=ln（x+1）；④$f（x）={（{x-\frac{1}{2}}）^3}$中，在區間[0，1]上“中值點”多于1個的函數是（　　）

• A． ①④
• B． ①③
• C． ②④
• D． ②③

Answer 1

分析 根據“中值點”的幾何意義是在區間[a，b]上存在點，使得函數在該點的切線的斜率等于區間[a，b]的兩個端點連線的斜率值．由此定義并結合函數的圖象與性質，對于四個選項逐一判斷，即得出正確答案．

解答 解：根據題意，“中值點”的幾何意義是在區間[a，b]上存在點，
使得函數在該點的切線的斜率等于區間[a，b]的兩個端點連線的斜率值．
對于①，根據題意，在區間[a，b]上的任一點都是“中值點”，f′（x）=3，
滿足f（b）-f（a）=f′（x）（b-a），∴①正確；
對于②，根據“中值點”函數的定義，拋物線在區間[a，b]只存在一個“中值點”，∴②不正確；
對于③，f（x）=ln（x+1）在區間[a，b]只存在一個“中值點”，∴③不正確；
對于④，∵f′（x）=3（x-$\frac{1}{2}$）²，且f（1）-f（0）=$\frac{1}{4}$，1-0=1；
∴3（x-$\frac{1}{2}$）²×1=$\frac{1}{4}$，解得x=$\frac{1}{2}$±$\frac{\sqrt{3}}{6}$∈[0，1]，
∴存在兩個“中值點”，④正確．
故選：A

點評 本題考查了新定義的命題真假的判斷問題，重點是對導數及其幾何意義的理解與應用問題，是中檔題．