Question

（本小題滿分14分）已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數的圖像在點處的切線的傾斜角為45°，那么實數在什么范圍取值時，函數在區間（2，3）內總存在極值？

（3）求證：．

 

Answer 1

（1）當時，的單調遞增區間為，減區間為；當時，的單調遞增區間為，減區間為；（2）當時，函數在區間（2，3）內總存在極值；（3）令，此時，，由（1）知在上單調遞增，所以當時，，即，所以對一切都成立.因為，所以，于是，所以

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【解析】

試題分析：（1）在求單調區間時首先要求出函數的定義域，然后對參數進行分類討論即可得出答案；（2）點處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即，可求值，代入得的解析式，由，且在區間上總不是單調函數可知：，，，于是可求的取值范圍．（3）令，此時，結合（1）可判斷對一切成立，進而可得，即可證得結論．

試題解析：（1）因為，所以.

當時，的單調遞增區間為，減區間為；當時，的單調遞增區間為，減區間為.

（2）因為函數的圖像在點處的切線的傾斜角為45°，所以，于是，，所以，所以.要使函數在區間（2，3）內總存在極值，所以只需，，解得，所以當時，函數在區間（2，3）內總存在極值.

（3）令，此時，，由（1）知在上單調遞增，所以當時，，即，所以對一切都成立.因為，所以，于是，所以

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考點：利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值；利用導數求閉區間上函數的最值．