Question

4．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC中點，AE⊥BD于E（不同于D），延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A₁-BCD，如圖2所示．
（1）求證：BD⊥A₁F；
（2）若圖1中，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，圖2中M是FC的中點，求點M到平面A₁EF的距離．

Answer 1

分析 （1）推導出A₁E⊥BD，EF⊥BD，由此能證明BD⊥A₁F．
（2）由DM∥EF，得DM∥平面A₁EF，從而點M到平面A₁EF的距離為DE，由此能求出結果．

解答 證明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC中點，AE⊥BD于E（不同于D），
延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A₁-BCD，
∴A₁E⊥BD，EF⊥BD，
∵A₁E∩EF=E，∴BD⊥平面A₁EF，
∵A₁F?平面A₁EF，
∴BD⊥A₁F．
解：（2）∵D，M分別為AC，BD中點，
∴DM∥EF，
又EF?平面A₁EF，DM?平面A₁EF，
∴DM∥平面A₁EF，
∴點M到平面A₁EF的距離為DE，
∵圖1中，AB=2，BC=2$\sqrt{3}$，∴AC=$\sqrt{4+12}$=4，
∴AB=AD=BD=2，∴DE=1，
∴點M到平面A₁EF的距離為1．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．