Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1）（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃；
（2）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求a_n與S_n；
（3）是否存在自然數(shù)n，使得S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²=2 015？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系式求解a₂，a₃；
（2）通過a_n=S_n-S_n-1，求出通項公式，利用等差數(shù)列的定義證明即可．
（3）利用（2）求出$\frac{{S}_{n}}{n}$，然后化簡求解即可．

解答 證明　（1）a₁=1，a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1）（n∈N^*）．
a₂=5，a₃=9．
（2）由a_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$+2（n-1），得S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），
即a_n-a_n-1=4，故數(shù)列{a_n}是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列．
于是，a_n=4n-3，S_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}$=2n²-n（n∈N^*）．
（3）由（2），得$\frac{{S}_{n}}{n}$=2n-1（n∈N^*），
又S₁+$\frac{{S}_{2}}{2}$+$\frac{{S}_{3}}{3}$+…+$\frac{{S}_{n}}{n}$-（n-1）²=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）²=n²-（n-1）²=2n-1．
令2n-1=2 015，得n=1 008，即存在滿足條件的自然數(shù)n=1 008．

點評 利用數(shù)列的通項公式以及遞推關(guān)系式化簡求解，考查數(shù)列求和，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．