Question

8．過點P（8，1）的直線與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1相交于A，B兩點，且P 是線段AB的中點，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 設出A，B的坐標，代入雙曲線方程，兩式相減，根據中點的坐標可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，進而求得直線AB的斜率，根據點斜式求得直線的方程．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=16，y₁+y₂=2，
∵x₁²-4y₁²=4，x₂²-4y₂²=4，
∴16（x₁-x₂）-8（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=2，
∴直線的方程為y-1=2（x-8），
即2x-y-15=0

點評 本題涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化．