Question

17．已知指數函數y=g（x）的圖象過點（2，4），定義域為R，f（x）=$\frac{-g（x）+n}{2g（x）+m}$是奇函數．
（1）試確定函數y=g（x）的解析式；
（2）求實數m，n的值；
（3）判斷函數f（x）在R上的單調性，并用定義證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）指數函數y=g（x）的圖象過點（2，4），坐標帶入，可求解析式．
（2）根據f（x）是奇函數．f（-x）=-f（x），f（0）=0，求解m，n的值．
（3）利用定義證明其單調性．

解答 解：（1）由題意，已知g（x）是指數函數，設g（x）=a^x（a＞0且a≠1）其圖象過點（2，4），
∴a²=4
∵a＞0且a≠1．
∴a=2
即g（x）=2^x．
故得g（x）的解析式為g（x）=2^x．
（2）由（1）可知$f（x）=\frac{{-{2^x}+m}}{{{2^{x+1}}+m}}$
∵f（x）是R上的奇函數，則有f（-x）=-f（x），f（0）=0，
∴$\frac{-1+n}{4+m}=0∴n=1$
又由f（1）=-f（-1）可知$\frac{-2+1}{4+m}=-\frac{{-\frac{1}{2}+1}}{1+m}∴m=2$
∴實數m，n的值分別為m=2，n=1．
（3）由（2）可知$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
根據指數函數的性質可知：y=2^x+1是增函數，
∴y=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$是減函數，
故$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{2+{2^{x+1}}}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2^x}+1}}$是減函數，
證明：設x₁＜x₂，
則$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}-1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}-1}$
∵x₁＜x₂，
∴${2}^{{x}_{2}}-1＞{2}^{{x}_{1}}-1$，
∴$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}-1}＞\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}-1}$
故f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數f（x）在R上是單調減函數．

點評 本題考查了指數函數的解析式求法，函數性質的運用以及單調性的證明．屬于基礎題．