Question

1．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，則（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}$+2）的最小值為16．

Answer 1

分析 利用a+b=1，帶入（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}$+2）消去1后分離，展開，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：a＞0，b＞0，
∵a+b=1
∴（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}$+2）=（$\frac{a+b}{a}$+2）（$\frac{a+b}$+2）=（3+$\frac{a}$）（3+$\frac{a}$）
=10+$\frac{3a}+\frac{3b}{a}$$≥10+2\sqrt{\frac{3a}×\frac{3b}{a}}=16$
當且僅當a=b=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}$+2）的最小值為16．
故答案為16．

點評 本題考查了“1”的利用以及基本不等式的性質，屬于中檔題．