Question

14．已知數列{a_n}滿足a₂=1，且其前n項和為${S_n}={n^2}-pn$
（1）求實數p的值及數列{a_n}的通項公式
（2）若數列{b_n}為等比數列，公比為p，{b_n}前n項和為T_n，且T₅＜S₅，求b₁取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，得S₁=1-p，S₂=4-2p，利用a₂=1，S₂=a₁+a₂，可得S₂=4-2p=1-p+1，即可求p的值；再寫一式，兩式相減，即可求出數列{a_n}的通項公式；
（2）求出T_n，利用T₅＜S₅，建立不等式，注意b₁≠0，即可求b₁的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，得S₁=1-p，S₂=4-2p，
因為a₂=1，S₂=a₁+a₂，
所以 S₂=4-2p=1-p+1，
解得 p=2．
所以S_n=n²-2n．
當n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1，
得a_n=n²-2n-（n-1）²+2（n-1）=2n-3
驗證知n=1時，a₁=-1符合上式，
所以a_n=2n-3，n∈N^*．
（2）由數列{b_n}為等比數列，公比為2，
得Tn=$\frac{{b}_{1}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=b₁（2ⁿ-1）．
因為T₅＜S₅，
所以b₁（2⁵-1）＜5²-2×5．                                           
又因為b₁≠0，
解得b₁＜0或0＜b₁＜$\frac{15}{31}$．
所以b₁的取值范圍是（-∞，0）∪（0，$\frac{15}{31}$）．

點評 本題考查數列的遞推式和應用，考查數列的通項與求和，確定數列的通項是關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．