Question

5．與函數f（x）=2^x的圖象關于直線y=x對稱的曲線C對應的函數為g（x），則函數$y=g（{\frac{1}{x}}）•g（{4x}）（{\frac{1}{8}≤x≤4}）$的值域為[-8，1]．

Answer 1

分析 根據題意寫出函數g（x），求出函數y的解析式，再根據x的取值范圍求出y的最大、最小值即可．

解答 解：∵函數f（x）=2^x，
∴g（x）=log₂x，x＞0；
∴函數y=g（$\frac{1}{x}$）•g（4x）
=log₂$\frac{1}{x}$•log₂（4x）
=（-log₂x）•（2+log₂x）
=-2log₂x-${{log}_{2}}^{2}$x
=-${{（log}_{2}x+1）}^{2}$+1；
又$\frac{1}{8}$≤x≤4，
∴-3≤log₂x≤2，
當x=$\frac{1}{2}$時，log₂$\frac{1}{2}$=-1，y取得最大值為y_max=1；
當x=4時，log₂4=2，y取得最小值為y_min=-8；
∴y的值域為[-8，1]．
故答案為：[-8，1]．

點評 本題考查了反函數與復合函數的值域問題，也考查了對數函數與二次函數的最值問題，是基礎題．