Question

17．若不等式$|{x-3}|+|{x+2}|≥{a^2}+\frac{1}{2}a+2$對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$[{-2，\frac{3}{2}}]$．

Answer 1

分析 由于|x-3|+|x+2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3和-2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，其最小值為5，故有5≥a²+$\frac{1}{2}$a+2，由此解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：|x-3|+|x+2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3和-2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，其最小值為5，
由不等式$|{x-3}|+|{x+2}|≥{a^2}+\frac{1}{2}a+2$對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
可得5≥a²+$\frac{1}{2}$a+2，解得-2≤a≤$\frac{3}{2}$，
故答案為：$[{-2，\frac{3}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)恒成立，絕對(duì)值的幾何意義，絕對(duì)值不等式的解法，屬于中檔題．