Question

19．如圖，已知三棱錐A-BCD的所有棱長均相等，點E滿足$\overrightarrow{DE}$=3$\overrightarrow{EC}$，點P在棱AC上運動，設EP與平面BCD所成角為θ，則sinθ的最大值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 設棱長為4a，PC=x（0＜x≤4a），則PE=$\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}-ax}$．求出P到平面BCD的距離，即可求出結論．

解答 解：設棱長為4a，PC=x（0＜x≤4a），則PE=$\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}-ax}$．
設P到平面BCD的距離為h，則$\frac{h}{\frac{4\sqrt{6}}{3}a}$=$\frac{x}{4a}$，∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$x，
∴sinθ=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}x}{\sqrt{{x}^{2}+{a}^{2}-ax}}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{（\frac{a}{x}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}}$，
∴x=2a時，sinθ的最大值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查線面角，考查配方法的運用，屬于中檔題．