Question

9．已知拋物線Γ：y²=2px上一點M（3，m）到焦點的距離為4，動直線y=kx（k≠0）交拋物線Γ于坐標原點O和點A，交拋物線Γ的準線于點B，若動點P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{BA}$，動點P的軌跡C的方程為F（x，y）=0；
（1）求出拋物線Γ的標準方程；
（2）求動點P的軌跡方程F（x，y）=0；（不用指明范圍）
（3）以下給出曲線C的四個方面的性質，請你選擇其中的三個方面進行研究：①對稱性；②圖形范圍；③漸近線；④y＞0時，寫出由F（x，y）=0確定的函數y=f（x）的單調區間，不需證明．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義，可得拋物線Γ的標準方程；
（2）求出A，B的坐標，利用動點P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{BA}$，求出動點P的軌跡C的方程；
（3）根據方程，可得結論．

解答 解：（1）由題意，3+$\frac{p}{2}$=4，∴p=2，
∴拋物線Γ的標準方程為y²=4x；
（2）設P（x，y），則y=kx，與拋物線方程聯立，可得x=$\frac{4}{{k}^{2}}$，y=$\frac{4}{k}$，即A（$\frac{4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
與x=-1聯立，可得B（-1，-k），
∵$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{BA}$，
∴（x，y）=（$\frac{4}{{k}^{2}}$+1，$\frac{4}{k}$+k），
∴x=$\frac{4}{{k}^{2}}$+1，y=$\frac{4}{k}$+k，
消去k可得${y^2}=4（x+1）+\frac{4}{x-1}$；
（3）由${y^2}=4（x+1）+\frac{4}{x-1}$，可得①關于x軸對稱；②x∈（1，+∞），y∈（-∞，-4]∪[4，+∞）；③漸近線x=1；④在（1，2]上遞減，在[2，+∞）上遞增．

點評 本題考查拋物線的定義與方程，考查曲線的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．